[计算机图形学] 计算几何算法概论

萧闫子

      then return false;
    点集pointSet初始化为空;
    for 多边形的每条边s
      do if 线段的某个端点在s上
           then 将该端点加入pointSet;
         else if s的某个端点在线段PQ上
           then 将该端点加入pointSet;
         else if s和线段PQ相交 // 这时候已经可以肯定是内交了
           then return false;
    将pointSet中的点按照X-Y坐标排序;
    for pointSet中每两个相邻点 pointSet , pointSet[ i+1]
      do if pointSet , pointSet[ i+1] 的中点不在多边形中
           then return false;
    return true;

　　这个过程中的排序因为交点数目肯定远小于多边形的顶点数目n，所以最多是常数级的复杂度，几乎可以忽略不计。因此算法的时间复杂度也是O(n)。

　　判断折线是否在多边形内：

　　只要判断折线的每条线段是否都在多边形内即可。设折线有m条线段，多边形有n个顶点，则该算法的时间复杂度为O(m*n)。

　　判断多边形是否在多边形内：

　　只要判断多边形的每条边是否都在多边形内即可。判断一个有m个顶点的多边形是否在一个有n个顶点的多边形内复杂度为O(m*n)。

　　判断矩形是否在多边形内：

　　将矩形转化为多边形，然后再判断是否在多边形内。

　　判断圆是否在多边形内：

　　只要计算圆心到多边形的每条边的最短距离，如果该距离大于等于圆半径则该圆在多边形内。计算圆心到多边形每条边最短距离的算法在后文阐述。

　　判断点是否在圆内：

　　计算圆心到该点的距离，如果小于等于半径则该点在圆内。

　　判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内：

　　因为圆是凸集，所以只要判断是否每个顶点都在圆内即可。

　　判断圆是否在圆内：

　　设两圆为O1,O2，半径分别为r1, r2，要判断O2是否在O1内。先比较r1，r2的大小，如果r1<r2则O2不可能在O1内；否则如果两圆心的距离大于r1 - r2 ，则O2不在O1内；否则O2在O1内。

　　计算点到线段的最近点：

　　如果该线段平行于X轴（Y轴），则过点point作该线段所在直线的垂线，垂足很容易求得，然后计算出垂足，如果垂足在线段上则返回垂足，否则返回离垂足近的端点；如果该线段不平行于X轴也不平行于Y轴，则斜率存在且不为0。设线段的两端点为pt1和pt2，斜率为：k = ( pt2.y - pt1. y ) / (pt2.x - pt1.x );该直线方程为：y = k* ( x - pt1.x) + pt1.y。其垂线的斜率为 - 1 / k，垂线方程为：y = (-1/k) * (x - point.x) + point.y 。

　　联立两直线方程解得：x = ( k^2 * pt1.x + k * (point.y - pt1.y ) + point.x ) / ( k^2 + 1) ，y = k * ( x - pt1.x) + pt1.y;然后再判断垂足是否在线段上，如果在线段上则返回垂足；如果不在则计算两端点到垂足的距离，选择距离垂足较近的端点返回。

　　计算点到折线、矩形、多边形的最近点：

　　只要分别计算点到每条线段的最近点，记录最近距离，取其中最近距离最小的点即可。

　　计算点到圆的最近距离及交点坐标：

　　如果该点在圆心，因为圆心到圆周任一点的距离相等，返回UNDEFINED。

　　连接点P和圆心O，如果PO平行于X轴，则根据P在O的左边还是右边计算出最近点的横坐标为centerPoint.x - radius 或 centerPoint.x + radius。如果PO平行于Y轴，则根据P在O的上边还是下边计算出最近点的纵坐标为 centerPoint.y -+radius或 centerPoint.y - radius。如果PO不平行于X轴和Y轴，则PO的斜率存在且不为0，这时直线PO斜率为k = （ P.y - O.y ）/ ( P.x - O.x )。直线PO的方程为：y = k * ( x - P.x) + P.y。设圆方程为undefinedx - O.x ) ^2 + ( y - O.y ) ^2 = r ^2，联立两方程组可以解出直线PO和圆的交点，取其中离P点较近的交点即可。

　　计算两条共线的线段的交点：

　　对于两条共线的线段，它们之间的位置关系有下图所示的几种情况。图(a)中两条线段没有交点；图 (b) 和 (d) 中两条线段有无穷焦点；图 (c) 中两条线段有一个交点。设line1是两条线段中较长的一条，line2是较短的一条，如果line1包含了line2的两个端点，则是图(d)的情况，两线段有无穷交点；如果line1只包含line2的一个端点，那么如果line1的某个端点等于被line1包含的line2的那个端点，则是图(c)的情况，这时两线段只有一个交点，否则就是图(b)的情况，两线段也是有无穷的交点；如果line1不包含line2的任何端点，则是图(a)的情况，这时两线段没有交点。

                               
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　　计算线段或直线与线段的交点:

　　设一条线段为L0 = P1P2，另一条线段或直线为L1 = Q1Q2 ，要计算的就是L0和L1的交点。

　1． 首先判断L0和L1是否相交（方法已在前文讨论过），如果不相交则没有交点，否则说明L0和L1一定有交点，下面就将L0和L1都看作直线来考虑。

　2． 如果P1和P2横坐标相同，即L0平行于Y轴

　　a) 若L1也平行于Y轴，

　　　　i. 若P1的纵坐标和Q1的纵坐标相同，说明L0和L1共线，假如L1是直线的话他们有无穷的交点，假如L1是线段的话可用"计算两条共线线段的交点"的算法求他们的交点（该方法在前文已讨论过）；
　　　　ii. 否则说明L0和L1平行，他们没有交点；

　　b) 若L1不平行于Y轴，则交点横坐标为P1的横坐标，代入到L1的直线方程中可以计算出交点纵坐标；

　3． 如果P1和P2横坐标不同，但是Q1和Q2横坐标相同，即L1平行于Y轴，则交点横坐标为Q1的横坐标，代入到L0的直线方程中可以计算出交点纵坐标；

　4． 如果P1和P2纵坐标相同，即L0平行于X轴

　　a) 若L1也平行于X轴，

　　　　i. 若P1的横坐标和Q1的横坐标相同，说明L0和L1共线，假如L1是直线的话他们有无穷的交点，假如L1是线段的话可用"计算两条共线线段的交点"的算法求他们的交点（该方法在前文已讨论过）；
　　　　ii. 否则说明L0和L1平行，他们没有交点；

　　b) 若L1不平行于X轴，则交点纵坐标为P1的纵坐标，代入到L1的直线方程中可以计算出交点横坐标；

　5． 如果P1和P2纵坐标不同，但是Q1和Q2纵坐标相同，即L1平行于X轴，则交点纵坐标为Q1的纵坐标，代入到L0的直线方程中可以计算出交点横坐标；

　6． 剩下的情况就是L1和L0的斜率均存在且不为0的情况

　　a) 计算出L0的斜率K0，L1的斜率K1 ；

　　b) 如果K1 = K2

　　　　i. 如果Q1在L0上，则说明L0和L1共线，假如L1是直线的话有无穷交点，假如L1是线段的话可用"计算两条共线线段的交点"的算法求他们的交点（该方法在前文已讨论过）；
　　　　ii. 如果Q1不在L0上，则说明L0和L1平行，他们没有交点。

　　c) 联立两直线的方程组可以解出交点来

　　这个算法并不复杂，但是要分情况讨论清楚，尤其是当两条线段共线的情况需要单独考虑，所以在前文将求两条共线线段的算法单独写出来。另外，一开始就先利用矢量叉乘判断线段与线段（或直线）是否相交，如果结果是相交，那么在后面就可以将线段全部看作直线来考虑。需要注意的是，我们可以将直线或线段方程改写为ax+by+c=0的形式，这样一来上述过程的部分步骤可以合并，缩短了代码长度，但是由于先要求出参数，这种算法将花费更多的时间。

　　求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点：

　　分别求与每条边的交点即可。

　　求线段或直线与圆的交点:

　　设圆心为O，圆半径为r，直线（或线段）L上的两点为P1,P2。

　　1. 如果L是线段且P1，P2都包含在圆O内，则没有交点；否则进行下一步。

　　2. 如果L平行于Y轴，

　　　a) 计算圆心到L的距离dis；
　　　b) 如果dis > r 则L和圆没有交点；
　　　c) 利用勾股定理，可以求出两交点坐标，但要注意考虑L和圆的相切情况。

　　3. 如果L平行于X轴，做法与L平行于Y轴的情况类似；

　　4. 如果L既不平行X轴也不平行Y轴，可以求出L的斜率K，然后列出L的点斜式方程，和圆方程联立即可求解出L和圆的两个交点；

　　5. 如果L是线段，对于2，3，4中求出的交点还要分别判断是否属于该线段的范围内。

　　凸包的概念：

　　点集Q的凸包(convex hull)是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。下图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。

                               
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　　凸包的求法：

　　现在已经证明了凸包算法的时间复杂度下界是O(n*logn),但是当凸包的顶点数h也被考虑进去的话，Krikpatrick和Seidel的剪枝搜索算法可以达到O(n*logh)，在渐进意义下达到最优。最常用的凸包算法是Graham扫描法和Jarvis步进法。本文只简单介绍一下Graham扫描法，其正确性的证明和Jarvis步进法的过程大家可以参考《算法导论》。

　　对于一个有三个或以上点的点集Q，Graham扫描法的过程如下：

　　令p0为Q中Y-X坐标排序下最小的点
　　设<p1,p2,...pm>为对其余点按以p0为中心的极角逆时针排序所得的点集（如果有多个点有相同的极角，除了距p0最远的点外全部移除
　　压p0进栈S
　　压p1进栈S
　　压p2进栈S
    for i ← 3 to m
      do while 由S的栈顶元素的下一个元素、S的栈顶元素以及pi构成的折线段不拐向左侧
        对S弹栈
      压pi进栈S
    return S;
　

　　此过程执行后，栈S由底至顶的元素就是Q的凸包顶点按逆时针排列的点序列。需要注意的是，我们对点按极角逆时针排序时，并不需要真正求出极角，只需要求出任意两点的次序就可以了。而这个步骤可以用前述的矢量叉积性质实现。

四、结语

　　尽管人类对几何学的研究从古代起便没有中断过，但是具体到借助计算机来解决几何问题的研究，还只是停留在一个初级阶段，无论从应用领域还是发展前景来看，计算几何学都值得我们认真学习、加以运用，希望这篇文章能带你走进这个丰富多彩的世界。